条件概率
什么是条件概率?
- 有条件的概率的情况概率一个事件变化或者是依赖在其他事件已经发生了
- 例如,从帽子上画名字,没有更换
- 如果一顶帽子里有10个(不同的)名字
- 的第一个抽到名字的概率是
" class="Wirisformula" role="math" alt="1 / 10" style="vertical-align:-17px;height:47px;width:27px" loading="lazy">作为一个特殊的名字1 10 {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18","autoformat":true} - 的第二个抽到的名字有概率
" class="Wirisformula" role="math" alt="1 / 9" style="vertical-align:-17px;height:47px;width:18px" loading="lazy">作为一个特殊的名字1 9 {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18","autoformat":true} - 或者说,如果这个名字是第一个被抽到的,那么第二个被抽到的概率是0
- 概率的变化取决于已经发生的事情
- 有条件的概率的语境中经常出现维恩图,树图或双向表
- 但是问题也可以只用文字提问
- 在这种情况下,画一个这样的图可能更容易理解发生了什么
- 除非问题要求你这样做,否则画一个图表是不必要的
- 对于许多问题,简单地考虑可能的选项而不画图会更快
- 条件概率问题的形式通常是“鉴于,“问题
- 例:假定昨天下过雨,求出今天下雨的概率
- 昨天是否下雨会影响今天是否下雨的概率,这是有道理的
- 这句话“鉴于”并不总是用在条件概率问题中
- 像AND/OR,你需要解释问题中使用的短语
- 例:假定昨天下过雨,求出今天下雨的概率
- 条件概率有时用“直条”符号表示
" class="Wirisformula" role="math" alt="直线P开括号A垂直线B闭括号" style="vertical-align:-6px;height:22px;width:57px" loading="lazy">P A | B {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18","autoformat":true} - 的概率一个鉴于B”
- 例如
" class="Wirisformula" role="math" alt="直P开括号通过垂直线没有空格修改闭括号" style="vertical-align:-6px;height:22px;width:156px" loading="lazy">表示学生在没有复习的情况下通过考试的概率P passes | no revision {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18","autoformat":true} - 这个概率很可能与
" class="Wirisformula" role="math" alt="直P开括号通过垂直线很多空间的空间修正闭括号" style="vertical-align:-6px;height:22px;width:183px" loading="lazy">!P passes | lots of revision {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18","autoformat":true}
工作的例子
一个盒子里有3个蓝色的柜子和8个红色的柜子。
随机取一个计数器,并记下它的颜色。
然后柜台被放在一边不放回盒子里。
然后随机取下第二个计数器,并记录其颜色。
写出概率
第二个计数器是红色的,假设第一个计数器是红色的
第二个计数器是蓝色的,前提是第一个计数器是红色的
第二个计数器是红色的,前提是第一个计数器是蓝色的
第二个计数器是蓝色的,假设第一个计数器是蓝色的。
如果第一个筹码是红色的,那么盒子里就只剩下7个红色筹码。
还有3个蓝色的柜台,总共10个柜台。
如果第一个筹码是红色的,那么盒子里就只剩下7个红色筹码。
还有3个蓝色的柜台,总共10个柜台。
如果第一个筹码是蓝色的,那么盒子里就只剩下2个蓝色筹码。
还有8个红色柜台,一共10个柜台。
如果第一个筹码是蓝色的,那么盒子里就只剩下2个蓝色筹码。
还有8个红色柜台,一共10个柜台。
组合条件概率
什么是组合条件概率?
- 许多比较棘手的概率问题两者都涉及条件概率而且结合概率
- 例如,从一袋不同颜色的筹码中抽取多个筹码,而不替换已经抽取的筹码
- 像这样的概率问题有时被称为没有替换的问题
- 因为正在绘制多个计数器,所以需要使用结合概率为了求出,比如说,画出两个相同颜色的计数器的概率
- 但是因为一次抽到的东西会影响以后抽到的东西的概率,所以也有必要考虑一下条件概率为了寻找答案
如何回答组合条件概率问题?
- 你需要带上结合概率而且条件概率把想法以适当的方式结合在一起
- 大多数问题都会用到AND表示相乘(
" class="Wirisformula" role="math" alt="大胆的交叉时间" style="vertical-align:-3px;height:19px;width:19px" loading="lazy">)而且OR表示添加(× {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18","autoformat":true} " class="Wirisformula" role="math" alt="大胆的加" style="vertical-align:-3px;height:19px;width:15px" loading="lazy">)规则结合概率+ {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18","autoformat":true} - 不要忘记,使用AND规则时事件必须是独立的,使用OR规则时事件必须是互斥的
- 但是第二次(和随后的)事件的概率将根据的想法而改变条件概率
- 因此,当从一个袋子中抽到一个没有替换的筹码时,抽到第二个筹码的概率将取决于先抽到哪个筹码
- 假设一个装有7个绿色柜台和3个紫色柜台的袋子
- 绘制一个计数器并记录其颜色,然后绘制第二个计数器不用更换袋子里的第一个计数器
- 两个计数器都是绿色的概率是多少?
- 第一个筹码是绿色的概率是7/10(绿色点数除以袋子总点数)
- 但如果第一个是绿色的,那么袋子里就只剩下6个绿色代币,总共剩下9个代币
- 所以第二个计数器是绿色的概率(如果第一个是绿色的)是6/9
- 这是条件概率问题的一部分
- 现在要找出“第一个绿色的和第二个绿色的”的概率,我们把这两个概率相乘
" class="Wirisformula" role="math" alt="直P开括号,空格绿色闭括号等于7 / 10叉乘6 / 9空格等于42 / 90" style="vertical-align:-17px;height:47px;width:223px" loading="lazy">P both green = 7 10 × 6 9 = 42 90 {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18","autoformat":true} - 这是结合概率问题的一部分
- 绘制一个计数器并记录其颜色,然后绘制第二个计数器不用更换袋子里的第一个计数器
如果两件事同时发生呢?
- 在一个问题中,并不总是说一件事先发生,然后另一件事发生
- 例如,一个问题可能不会说从一袋计数器中抽取了一个计数器,并且没有替换,然后抽取了第二个计数器
- 相反,它可能简单地说从一袋计数器中抽取两个计数器
- 在回答这样的问题时,你总是可以假设相关的事情一个接一个地发生
- 这并不会改变问题的数学性质,但会让问题更容易回答!
- 对于从一个袋子中抽出两个计数器的例子
- 你仍然可以把它分解成第一个筹码和第二个筹码的概率
- 同时画两个计数器与画一个计数器再画第二个计数器完全相同,没有替换
组合条件概率问题有什么有用的捷径吗?
- 假设有一个袋子,里面有7个绿色的计数器和3个紫色的计数器,其中2个计数器不需要替换
- 对于两个计数器是不同颜色的概率,我们可以使用“[第一个绿色和第二个紫色]或[第一个紫色和第二个绿色]”的AND/OR规则来得到
-
- 注意这两个“与”的概率是相等的(21/90)
- 这是因为在原始分数中出现了相同的分子和分母
- 分子互换了,但这不会改变乘积的值
- 另一种方法是认识到
- 有两种方法让计数器呈现不同的颜色(绿色然后紫色,或者紫色然后绿色)
- 每种情况的概率都是一样的(7/10乘以3/9,或3/10乘以7/9)
- 因此概率是
- 注意这两个“与”的概率是相等的(21/90)
- 当你需要考虑不止两件事情时,这种方法尤其有用
- 对于上面的同一袋筹码,抽4个而不更换,抽到2个绿色和2个紫色筹码的概率是多少?
- 你可以用AND/OR方法来做,但你必须把[第一个绿色和第二个绿色,第三个紫色和第四个紫色]或[第一个绿色和第二个紫色,第三个绿色和第四个紫色]相乘和相加,或者……(等等,等等)
- 将会有六个四个分数的乘积,每个乘积相乘,然后相加
- 或者你可以意识到
- “2绿2紫”有6种发生方式(GGPP, GPGP, GPPG, PPGG, PGPG, PGGP)
- 每一种情况的概率都是一样的(7/10乘6/9乘3/8乘2/7,分子的顺序无关紧要,只要有7 6 3 2就行)
- 因此概率是
考试技巧
- 一般来说,无论问题的概率是多少,都可以使用小数、分数或百分比
- 唯一的例外是将百分比更改为小数更容易,特别是在涉及乘法的情况下
- 当使用分数时,最好不要简化任何分数(可能除了最终答案)
- 这是因为分数通常需要加在一起,如果它们都有相同的分母,这就更容易做到
工作的例子
一个袋子里有7个绿色的计数器和3个紫色的计数器。
随机取一个计数器,并记下它的颜色。柜台是不回到箱子里。
然后随机取下第二个计数器并记录其颜色。它也是不回到箱子里。
最后,随机抽取第三个计数器,并记录其颜色。
求出概率
三个柜台都是紫色的
三个计数器中恰好有一个是紫色的
三个计数器中至少有一个是紫色的
这是一个”和“第一个紫色和2号紫色和3日紫色。
每选一个紫色就会少一个紫色,所以分子每次都减1。
每次选择一个计数器,袋子里剩下的总数就会减少1,所以分母也会每次减少1。
这是一个”和“而且”或“问题:[第一个紫色和2号绿色和第三绿色]或[第一绿色和2号紫色和第三绿色]或[第一绿色和2号绿色和第三个紫色的。
分母每次都要减小1。
而且分子每次都需要根据上一次计数后每种颜色的剩余数量来改变。
使用“快捷方法”会更快。
有3种方法可以获得恰好1个紫色计数器(PGG、GPG和GGP)。
所以概率是
要做到这一点,最简单的方法是意识到“至少有一个紫色”和“不全是绿色”是一样的。
所以求出“3个都是绿色”的概率,然后用1减去它。
All three green是an”和“第一个绿色和2号绿色和3绿色。
分子和分母会像第(i)部分一样改变。
工作的例子
一个大盒子里有30袋薯片。有9袋腌薯片(右),17袋盐醋薯片(V), 4袋奶酪洋葱薯片(C).
阿兰姆从盒子里随便拿了两袋薯片。
算出他拿的两个包是不同类型的概率。
有几种方法可以做到这一点。
长的路是和/或考虑所有不同的选项:'[R和V]或[V和R]或[R和C]或[V和C]或[C和V]'。
一定要改变分数中的分子和分母,以匹配每个选项后剩下的内容。
你也可以使用“快捷方式”来稍微简化一下:
“2
然而,最简单的方法是把它作为和/或问题分解如下:
“[R而不是R]或[V而不是V]或[C而不是C]”
对于[R AND not R],第一个袋子是R的概率是9/30,那么盒子里剩下17+4=21个V和C袋,盒子里总共剩下29个袋子。所以第二个袋子不是R的概率是21/29。
用同样的方法求出[V and not V]和[C and not C]的分子和分母。
请注意,对于每一种产品,分子相加为30(开始时盒子里的薯片总数)。