简谐运动的条件
- 简谐运动(SHM)是一种特定类型的振荡吗
- 当以下情况时,振荡称为SHM:
- 加速度与位移成正比
- 加速度与位移方向相反
- 振荡子经历SHM的例子有:
- 钟摆:钟的钟摆
- 弹簧上的质量
- 吉他弦
- 电子在交流电中通过导线
- 它们总是周期性的,这意味着它们根据它们的频率或时间段以规则的间隔重复
- 加速度一个和位移x可以用SHM的定义方程表示:
一个∝−x
- 在SHM中的物体也会有一个恢复力使其回到平衡位置
- 这个恢复力是成正比的,但是在相反的方向,为物体从平衡位置的位移
- 注意:恢复力和加速度作用于同一方向
钟摆在SHM中的力、加速度和位移
- 这就是为什么一个人在蹦床上跳不是简单的谐运动的例子:
- 人身上的恢复力是不与它们到平衡位置的距离成正比
- 当人不接触蹦床时,恢复力等于他们的体重,这是恒定的
- 即使他们跳得更高,这一点也不会改变
加速度
- 向内振荡的物体的加速度简谐运动是:
A =−⍵2x
- 地点:
- 一个=加速度(m s-2)
- ⍵=角频率(rad s-1)
- x=位移(m)
- 这是用来找到具有特定角频率的物体的加速度⍵在特定位移处x
- 由方程可知:
- 加速度达到。最大位移为a时的值最大ie。x = A (振幅)
- 的-符号表示当对象位移到正确的,加速度的方向是左反之亦然(一个而且x总是在相反的方向)
位移
- 加速度对位移的曲线是一条直线,穿过向下倾斜的原点(类似于y = - x)
在SHM中,物体的加速度与负位移成正比
- 该图的主要特征是:
- 梯度等于-⍵2
- 最大位移和最小位移x值为振幅−A和+A
- SHM加速度方程的解是位移方程:
x=一个cos(⍵t)
- 地点:
- 一个=振幅(m)
- t=时间(秒)
- 发生在以下情况:
- 一个物体从它的振幅位置(x=一个或x=−一个在t= 0)
- 当cos(⍵t)等于1或−1时,位移将达到最大x=一个
- 该方程可用于求解某一时刻某一特定角频率和幅值的物体在SHM中的位置
- 如果一个物体从其平衡位置(x= 0在t= 0)则位移方程为:
x=一个sin(⍵t)
- 当sin(⍵t)等于1或−1时,位移将达到最大x=一个
- 这是因为正弦图从0开始,而余弦图从最大值开始
这两个图表示相同的SHM。区别在于起始位置
速度
- 物体进入的速度简谐运动随着它的来回振荡而变化
- 它的速度就是速度的大小
- 振子的最大速度是在平衡位置。当它的位移x= 0
- 速度如何v随振荡器位移的变化而变化x在SHM中定义为:
- 地点:
-
- v=速度(m s-1)
- 一个=振幅(m)
- ±= '正负'。取值为正负
- ⍵=角频率(rad s-1)
- x=位移(m)
- 这个方程表明,当振荡器的振幅更大时一个,它必须在相同的时间内走更长的距离,因此有更大的速度v
- 尽管这个符号v通常用来表示速度,而不是速度,考试问题更关注速度的大小,而不是它的方向在SHM
工作的例子
一个55克的物体通过弹簧悬挂在一个定点上。静止质量被垂直向下拉4.3厘米,然后在t = 0时释放。观察到质量进行简单谐波运动,周期为0.8 s。计算物体在t = 0.3 s时的位移x,单位为cm。
步骤1:写出SHM位移方程
由于在最大位移t = 0时释放质量,因此位移方程为余弦函数:
x = Acos(⍵t)
第二步:计算角频率
记住要使用给定的时间段的值,而不是计算位移的时间
第三步:将数值代入位移方程
x = 4.3 cos(7.85×0.3)= -3.0369,= -3.0厘米(2顺丰速递)
确保计算器在里面弧度模式
负值表示质量在平衡位置的另一侧,即起始位置的3.0 cm处(高于3.0 cm)
工作的例子
单摆作单谐运动,振幅为15厘米。振荡频率为6.7赫兹。计算摆距平衡位置12cm处的速度。
第一步:写出已知的数量
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- 振荡振幅,一个= 15厘米= 0.15米
- 要求速度时的位移,x= 12厘米= 0.12米
- 频率,f= 6.7 Hz
步骤2:振荡器速度与位移方程
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- 由于计算的是速度,在这种情况下,方向无关紧要,可以去掉±号
第三步:写出角频率的表达式
-
- 角频率与法向频率的关系式:
⍵= 2πf = 2π× 6.7 = 42.097…
步骤4:代入数值并计算
v= 3.789 = 3.8 m s-1(2顺丰速递)
考试技巧
因为位移是一个矢量,记住,如果你的解是负的,你就会失去一个分数!另外,记住你的计算器必须在弧度模式时使用余弦和正弦函数。这是因为角频率⍵是以rad s计算的-1,不度。你经常需要在不同时间段之间进行转换T、频率f角频率⍵对于很多考试题目来说,所以一定要修改与这些相关的方程。