用微分方程建模
为什么微分方程被用来模拟现实世界的情况?
- 一个微分方程一个方程是否包含一个或多个导数
- 衍生品处理的是变化率,以及变量相对于其他变量的变化方式
- 因此,微分方程是一种自然的方法来模拟现实世界中涉及变化的情况
- 在现实世界中,我们最感兴趣的是事物如何随时间变化,所以所使用的导数通常是关于时间的t
我如何建立一个微分方程来模拟一种情况?
- 考试题目可能要求你根据提供的信息创建一个微分方程
- 这个问题将提供一个建立微分方程的背景
- 最常见的情况是,变量的变化率与变量的某个函数成正比
- 例如,细菌种群的变化率,P,在某一特定时间的人口规模可能与当时的人口规模成正比
- 在建模问题中,“速率”(“……的变化率”,“……的增长率”等)的表达强烈暗示需要一个微分方程,涉及对时间的导数t
- 对于上面的细菌例子,方程中包含了导数
" class="Wirisformula" role="math" alt="分子dp除以分母dt结束分数" style="vertical-align:-17px;height:47px;width:30px" loading="lazy">d P d t {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"} - 回想一下基本的比例方程
- 如果y正比于x,然后y=kx对于一些比例常数k
- 对于上面的细菌例子微分方程需要是
" class="Wirisformula" role="math" alt="分子dp除以分母dt结束分数等于kp" style="vertical-align:-17px;height:47px;width:67px" loading="lazy">d P d t = k P {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"} - 的精确值k通常在开始时不知道,但需要在求解微分方程的过程中找到
- 这样假设通常是有用的k当建立方程时
- 在这种情况下-k会用在微分方程中在变化率预期为负的情况下
- 在细菌的例子中,如果已知细菌的数量在减少,那么这个方程就可以写成
" class="Wirisformula" role="math" alt="分数分子dp除以分母dt结束分数等于- kp" style="vertical-align:-17px;height:47px;width:84px" loading="lazy">d P d t = - k P {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"}
工作的例子
一)
在一个特定的池塘中,藻类覆盖面积的变化率,一个,在任何时候t与当时藻类覆盖面积的平方根成正比。写出一个微分方程来模拟这种情况。
b)
牛顿冷却定律指出,物体温度的变化率,T,在任何时候t与物体的温度与周围环境温度的差成正比,T一个,在那个时候。假设物体开始时比周围的温度高,写下牛顿冷却定律所隐含的微分方程。