矩阵变换
变换矩阵是什么?
- 一个变换矩阵被用来确定矩阵的坐标图像从转换一个对象
- 常用的变换矩阵包括
- 反射,旋转,放大和拉伸
- (在二维平面中)任意2x2矩阵的乘法都可以被认为是一个变换(在二维平面中)
- 平面上的一个点可以表示为一个位置向量,
" class="Wirisformula" role="math" alt="开括号表x行y行结束表闭括号" style="vertical-align:-21px;height:54px;width:33px">x y {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"} - 创建一个形状的几个点,可以写成一个位置矩阵
" class="Wirisformula" role="math" alt="空格开括号表行cell x下标1 end cell cell x下标2 end cell cell x下标3 end cell cell cell…End cell row cell y下标1 End cell cell y下标2 End cell cell y下标3 End cell cell cell…结束单元格结束表右括号" style="vertical-align:-27px;height:66px;width:117px">x 1 x 2 x 3 . . . y 1 y 2 y 3 . . . {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"} - 一个矩阵变换是这样的
" class="Wirisformula" role="math" alt="开括号表a行b行c d结束表闭括号开括号表x行y结束表闭括号加开括号表e行f结束表闭括号" style="vertical-align:-21px;height:54px;width:130px">a b c d x y + e f {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"} - 在哪里
" class="Wirisformula" role="math" alt="开括号表x行y行结束表闭括号" style="vertical-align:-21px;height:54px;width:33px">表示二维平面上的任意点x y {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"} " class="Wirisformula" role="math" alt="开括号表a行b行c d结束表闭括号" style="vertical-align:-21px;height:54px;width:50px">而且a b c d {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"} " class="Wirisformula" role="math" alt="开括号表e行f行结束表闭括号" style="vertical-align:-21px;height:54px;width:32px">给出了矩阵e f {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"}
如何找到变换下图像的坐标?
- 坐标(x ',y ') -点的图像(x,y)在转变中与矩阵
" class="Wirisformula" role="math" alt="开括号表a行b行c d结束表闭括号" style="vertical-align:-21px;height:54px;width:50px" loading="lazy">而且a b c d {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"} " class="Wirisformula" role="math" alt="开括号表e行f行结束表闭括号" style="vertical-align:-21px;height:54px;width:32px" loading="lazy">-由e f {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"}
- 类似地,对于一个位置矩阵
-
- 如果你使用这种方法,记得添加e而且f到每一列
- GDC可用于矩阵乘法
- 如果涉及的矩阵很小,手动操作可能同样快
- 步骤1
确定变换矩阵(T)和位置矩阵(P)
变换矩阵,如果不常见,将在问题中给出
位置矩阵是由所涉及的坐标确定的,坐标最好是有序的,避免混淆
- 步骤2
建立并执行确定图像位置矩阵所需的矩阵乘法和加法,P '
P '=TP
- 步骤3
根据图像位置矩阵确定图像的坐标,P '
我如何找到原始点的坐标给定一个变换后的图像?
- 要“逆转”转变,我们需要逆转换矩阵
- 即。T-1
- 对于一个2x2矩阵
" class="Wirisformula" role="math" alt="开括号表a行b行c d结束表闭括号" style="vertical-align:-21px;height:54px;width:50px" loading="lazy">逆函数由a b c d {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"} " class="Wirisformula" role="math" alt="分数分子1除以分母det加粗斜体T结束分数开括号表第d行单元格- b结束单元格行单元格- c结束单元格a结束表闭括号" style="vertical-align:-21px;height:54px;width:119px" loading="lazy">1 det T d - b - c a {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"} - 在哪里
" class="Wirisformula" role="math" alt="det加粗斜体T = d - bc" style="vertical-align:-6px;height:22px;width:106px" loading="lazy">det T = a d - b c {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"}
- 在哪里
- GDC可以用来计算逆矩阵
- 你会重新安排
" class="Wirisformula" role="math" alt="开括号表行cell x撇号end cell行cell y撇号end cell结束表闭括号等于开括号表行ab行c d结束表闭括号开括号表行x行y结束表闭括号加上开括号表行e行f结束表闭括号" style="vertical-align:-23px;height:58px;width:184px" loading="lazy">x ' y ' = a b c d x y + e f {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"} " class="Wirisformula" role="math" style="vertical-align:-19px;height:48px;width:256px" loading="lazy">1 det T ( d - b - c a ) x ' y ' - e f = ( x y ) {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"}
考试技巧
- 一个2x2矩阵的行列式和逆矩阵的公式可以在题目1:数与代数配方小册子的一部分
工作的例子
四边形Q有四个顶点A(2,5)、B(5,9)、C(11,9)和D(8,5)。
求出Q在变换下的像的坐标
几何变换矩阵
几何变换是什么意思?
- 下面的转换可以用(在2D中)表示乘法的2 x2矩阵
- 旋转(关于原点)
- 反射
- 放大
- (水平)延伸平行于x轴
- (垂直)延伸平行于y轴
- 下面的转换可以用(在2D中)表示除了的2 x1矩阵
- 翻译
几何变换的矩阵是什么?
- 下面所有的变换矩阵都在公式小册子
- 旋转
- 逆时针(或逆时针)穿过角θ绕原点
" class="Wirisformula" role="math" alt="右括号表行cell cos end cell cell - sin end cell行cell sin end cell cell cos end cell结束表右括号" style="vertical-align:-21px;height:54px;width:109px" loading="lazy">cos θ - sin θ sin θ cos θ {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"}
- 顺时针穿过角θ绕原点
" class="Wirisformula" role="math" alt="右括号表行cell cos end cell cell cell sin end cell行cell - sin end cell cell cell cos end cell结束表右括号" style="vertical-align:-21px;height:54px;width:109px" loading="lazy">cos θ sin θ - sin θ cos θ {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"}
- 在两种情况下
- θ > 0
- θ可以用度或弧度来测量
- 逆时针(或逆时针)穿过角θ绕原点
- 反射
- 在队列中
" class="Wirisformula" role="math" alt="Y等于左括号tan右括号x" style="vertical-align:-6px;height:22px;width:82px" loading="lazy">y = ( tan θ ) x {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"} " class="Wirisformula" role="math" alt="开括号表格行cell cos 2 end cell cell sin 2 end cell行cell sin 2 end cell cell - cos 2 end cell结束表格闭括号" style="vertical-align:-21px;height:54px;width:130px" loading="lazy">cos 2 θ sin 2 θ sin 2 θ - cos 2 θ {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"}
- θ可以用度或弧度来测量
- 对于x轴上的反射,θ = 0°(0弧度)
- 对于y轴上的反射,θ = 90°(π/2弧度)
- 在队列中
- 扩大
- 比例因子k,原点(0,0)处的扩大中心
" class="Wirisformula" role="math" alt="开括号表第k行0,结束表第0行k,闭括号" style="vertical-align:-21px;height:54px;width:51px" loading="lazy">k 0 0 k {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"}
- 比例因子k,原点(0,0)处的扩大中心
- 水平拉伸(或平行于x轴拉伸)
- 比例因子k
" class="Wirisformula" role="math" alt="左括号表第k行0第0行1结束表右括号" style="vertical-align:-21px;height:54px;width:50px" loading="lazy">k 0 0 1 {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"}
- 比例因子k
- 垂直拉伸(或平行于y轴拉伸)
- 比例因子k
" class="Wirisformula" role="math" alt="开括号表第1行0 k行0结束表闭括号" style="vertical-align:-21px;height:54px;width:50px" loading="lazy">1 0 0 k {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"}
- 比例因子k
- 翻译(向量)
- px方向(正)的单位
- 问y方向上的单位
" class="Wirisformula" role="math" alt="开括号表p行q行结束表闭括号" style="vertical-align:-21px;height:54px;width:33px" loading="lazy">p q {"language":"en","fontFamily":"Times New Roman","fontSize":"18"} - 这在公式小册子里没有给出
如何解决涉及几何变换的问题?
- 问题中涉及到的矩阵方程的形式是
- P ' =美联社或
- P ' = AP + b在哪里b是平移向量
- (有时称为仿射转换)
- 在哪里
- P物体的位置向量是坐标吗
- P '图像的位置向量是坐标吗
- 一个是变换矩阵
- b是平移向量
- 问题可能会要求你这么做
- 求图像上各点的坐标
- 使用逆矩阵(一个-1)
- 推导/确定一个对应于常见几何变换之一的矩阵
- 例:求出绕原点顺时针旋转45°的矩阵
考试技巧
- 所有变换矩阵的公式可以在题目3:几何与三角配方小册子的一部分
工作的例子
三角形PQR的坐标为P(- 1,4) Q(5,4) R(2, -1)。
转换T线条中有反射吗
复合变换矩阵
变换发生的顺序会导致不同的结果——例如,x轴上的反射,然后顺时针旋转90°,与先旋转,然后反射不同。
因此,当一个变换之后是另一个顺序时是关键的。
什么是复合变换?
- 复合函数是对一个点或一组点应用多个函数的结果
- 如旋转,然后是扩大
- 有可能找到一个单复合函数矩阵这和应用单个变换矩阵是一样的
如何找到一个矩阵re呈现复合转换?
- 变换矩阵的乘法
- 然而,矩阵的顺序很重要
- 如果变换用矩阵表示米首先应用,然后由另一个变换表示的矩阵N
- 复合矩阵为纳米
e。P '=NMP
(纳米不一定等于锰) - 矩阵是应用从右向左
- 复合函数矩阵为计算从左到右
- 复合矩阵为纳米
- 另一种方法是,从P,总是精准医疗-乘通过一个变换矩阵
- 这和应用是一样的复合函数到一个值
- 最右边的函数(或矩阵)首先应用
- 如果变换用矩阵表示米首先应用,然后由另一个变换表示的矩阵N
我如何应用同一个变换矩阵不止一次?
- 如果是一个变换,用矩阵表示T,应用两次,我们可以把复合变换矩阵写成T2
- T2=TT
- 对于任何数量的重复应用程序都是如此
- T5一个变换的五个应用的矩阵是什么
- GDC可以快速计算T2,T5等
- 问题可能涉及到考虑转换的重复应用所形成的模式和序列
- 点的坐标遵循特定的模式
- (20, 16) -(10, 8) -(5, 4) -(2.5, 2)…
- 形状的面积随着每次应用的增加/减少以一个常数因子
- 点的坐标遵循特定的模式
例如,如果一个变换使面积翻倍,那么三个应用程序将使(原来的)面积增加8倍(23.)
考试技巧
- 当在一组点上执行多个变换时,确保你把你的变换矩阵放在正确的顺序,你可以在考试中检查这一点,但画一张图并检查变换后的点最终在它应该在的地方
- 你可能会被要求展示你的工作,但你仍然可以通过GDC检查你是否正确执行了矩阵乘法
工作的例子
矩阵E表示以原点为中心,缩放因子为0.25的放大。
矩阵R表示绕原点逆时针90°的旋转。